Pythagore et le secret des irrationnels : entre mythe fondateur et révolution mathématique
Mots-clés : pythagoriciens, incommensurabilité, \(\sqrt{2}\), irrationnels, histoire des mathématiques, preuve par l’absurde.
Cet article examine l’anecdote attribuant aux pythagoriciens la volonté de dissimuler la découverte des grandeurs incommensurables — souvent illustrée par l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) — et discute ce que la tradition appelle parfois le « secret des irrationnels ».
Après avoir distingué les strates de la tradition (récits tardifs, reconstructions modernes, prudence historiographique), nous présentons le noyau mathématique : l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, traduisible aujourd’hui par l’irrationalité de \(\sqrt{2}\). Nous montrons ensuite pourquoi cet épisode, qu’il soit factuel ou légendaire, cristallise un tournant : passage d’une arithmétique des rapports entiers à une théorie des grandeurs et des preuves structurées, dont la géométrie euclidienne proposera plus tard un cadre stabilisé.
Enfin, nous discutons l’idée de « secret » : discipline d’école, ésotérisme, contrôle de la transmission, ou simple dramatisation rétrospective d’un choc conceptuel.
Dans l’imaginaire mathématique, peu d’histoires sont aussi frappantes que celle-ci : un pythagoricien (souvent nommé Hippase de Métaponte) aurait révélé une vérité dangereuse — l’existence de grandeurs « impossibles à mesurer » par un même étalon — et aurait été puni (jusqu’à la noyade, dans certaines versions). L’événement symboliserait le moment où l’école pythagoricienne, attachée à l’idée que « tout est nombre » (au sens de rapports d’entiers), aurait rencontré une faille interne : la diagonale du carré ne se laisse pas exprimer comme rapport de deux entiers.
L’objectif n’est pas de trancher définitivement une querelle historique difficile (les sources sont tardives et souvent polémiques), mais de traiter l’anecdote comme un objet à double face : (i) un récit de transmission des savoirs (secret, divulgation, autorité) ; (ii) un fait mathématique robuste (incommensurabilité), qui a réellement transformé les concepts et les méthodes de preuve.
Pour guider la lecture, on distinguera : (1) le problème des sources et la construction du « secret » ; (2) le contenu mathématique minimal (preuve de l’irrationalité de \(\sqrt{2}\)) ; (3) les conséquences épistémologiques (nouvelle place de la démonstration, séparation entre arithmétique et géométrie, statut des grandeurs).
1. La diagonale du carré : un choc conceptuel (incommensurabilité)
Considérons un carré de côté 1. Par le théorème de Pythagore, la diagonale vaut \(\sqrt{2}\). Dire que la diagonale et le côté sont commensurables revient à dire qu’il existe une unité commune \(u\) telle que le côté et la diagonale soient des multiples entiers de \(u\). En langage moderne, cela revient à affirmer : \(\sqrt{2}\) est rationnel.
Le contenu mathématique est donc simple à formuler aujourd’hui, mais historiquement disruptif : il existe des longueurs qui ne se ramènent pas à un rapport d’entiers. Une porte d’entrée accessible vers cette notion est Wolfram MathWorld — Irrational Number et, pour une perspective historique, le MacTutor History of Mathematics archive.
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel (autrement dit, la diagonale d’un carré de côté 1 est incommensurable avec son côté).
Preuve (par l’absurde). Supposons \(\sqrt{2}\) rationnel. Il existe alors des entiers \(p\) et \(q\) premiers entre eux tels que \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\). En élevant au carré : \(2=\dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2=2q^2\). Ainsi \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2k\). En remplaçant : \((2k)^2=2q^2\), soit \(4k^2=2q^2\), donc \(q^2=2k^2\). Alors \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair. On obtient que \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, contradiction avec le fait qu’ils soient premiers entre eux. Donc \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Cette preuve « par l’absurde » est aujourd’hui standard. Historiquement, les Grecs expriment volontiers ce résultat en termes de commensurabilité/incommensurabilité de segments plutôt qu’en fractions, ce que reflète le traitement géométrique ultérieur. Pour une version en ligne structurée des Éléments, on peut consulter Euclid’s Elements (D. Joyce).
2. D’où vient l’idée d’un « secret » pythagoricien ?
La figure de Pythagore est entourée d’une tradition mêlant mathématiques, règles de vie communautaire, et parfois un discours ésotérique. Dans un tel contexte, l’hypothèse d’un contrôle de la transmission des doctrines n’a rien d’absurde. Cependant, l’histoire précise d’un individu puni pour avoir divulgué l’existence des irrationnels est généralement considérée avec prudence : les sources directes contemporaines manquent, et les récits apparaissent tardivement, avec des variantes et des intentions possibles (édification morale, polémique entre écoles, dramatisation).
Il faut donc distinguer deux niveaux : une thèse mathématique (incommensurabilité démontrable) et une thèse sociologique (rétention, secret, sanction), plus fragile historiquement.
Deux niveaux à ne pas confondre.
Thèse mathématique : l’incommensurabilité (diagonale/côté) est un fait démontrable et structurel.
Thèse sociologique : l’école pythagoricienne aurait « caché » ce fait ou sanctionné sa divulgation ; cette thèse dépend de témoignages indirects.
Même si l’on met entre parenthèses la part légendaire, l’idée de « secret » peut se comprendre comme la trace d’un conflit de programme : si l’on attend de la réalité qu’elle soit intégralement saisissable par des rapports d’entiers, alors l’apparition d’une grandeur incommensurable n’est pas un détail technique, mais une remise en cause structurante.
3. Pourquoi \(\sqrt{2}\) dérange : nombres, grandeurs et méthodes de preuve
L’enjeu dépasse la valeur de \(\sqrt{2}\). Il touche (1) le statut des objets (nombres ou grandeurs), (2) le statut des preuves (prouver l’impossibilité d’une représentation), et (3) la structuration du discours mathématique (la géométrie et la théorie des proportions).
Le statut des objets : parle-t-on de nombres (entiers/rapports d’entiers) ou de grandeurs (segments, aires) ?
Le statut des preuves : comment prouver l’impossibilité d’une représentation ? La preuve par l’absurde, fondée sur des propriétés comme la parité, devient un outil central.
La structuration du discours : la géométrie fournit un langage pour traiter des rapports non numériques via une théorie des proportions.
Même si l’épisode d’Hippase était une reconstruction, il resterait pertinent comme mythe explicatif d’un basculement : l’acceptation que « mesurer » ne se réduit pas à compter, et que la rigueur mathématique doit intégrer des impossibilités démontrées.
4. Le rôle de la narration : punition, transgression, diffusion
Pourquoi une histoire de châtiment a-t-elle autant marqué ? Parce qu’elle donne une forme dramatique à un événement abstrait. Une communauté savante se définit aussi par ce qu’elle autorise à dire et à transmettre. Dans un cadre initiatique (réel ou attribué), « révéler » peut être construit comme une transgression. Mais ce motif sert aussi à signaler qu’une idée n’est pas seulement nouvelle : elle est déstabilisante.
En ce sens, « le secret des irrationnels » n’est peut-être pas un secret au sens policier ; c’est le nom donné à un événement intellectuel où une évidence doctrinale (« tout est nombre ») cesse d’être tenable sans révision des concepts.
L’irrationalité de \(\sqrt{2}\) est un fait mathématique solide, indépendant de toute légende. L’anecdote pythagoricienne appartient à une mémoire culturelle des mathématiques : elle met en scène la tension entre doctrine, preuve et transmission. Qu’on la lise comme un fragment historique incertain ou comme une parabole savante, elle pointe un résultat fondamental : certaines grandeurs échappent aux rapports d’entiers, et cette résistance n’est pas un échec mais une information — prouvée.
Le « secret » devient alors un symbole : celui du moment où les mathématiques apprennent à intégrer l’impossible démontré, et à transformer une crise conceptuelle en méthode.
- Wolfram MathWorld — Irrational Number.
- MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews).
- Euclid’s Elements (édition web D. E. Joyce).
- Encyclopaedia Britannica : Pythagoras ; irrational number.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy : Pythagoras.