La duplication du cube (problème délien)

La duplication du cube est un problème classique de la géométrie grecque montrant que certaines constructions, pourtant simples en apparence, sont impossibles à la règle et au compas.

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La duplication du cube (problème délien) : origine, mathématiques et enjeux didactiques

Date : 26 janvier 2026

La duplication du cube est un problème emblématique issu de la tradition mathématique grecque. Il consiste à construire, à partir d’un cube donné, un second cube dont le volume soit exactement le double, en n’utilisant qu’une règle non graduée et un compas. Ce problème fait partie des quatre grands problèmes grecs de l’Antiquité, aux côtés de la quadrature du cercle, de la trisection de l’angle et de la construction du polygone régulier. L’article présente l’origine légendaire du problème, sa traduction mathématique \(b = a\sqrt[3]{2}\), la démonstration de son impossibilité dans le cadre de la géométrie euclidienne, ainsi que plusieurs solutions historiques obtenues en élargissant les outils géométriques. Le lecteur pourra approfondir ces questions en visitant le site constructions.sensmath.com , consacré aux quatre problèmes grecs.

Mots-clés : géométrie grecque, constructibilité, règle et compas, coniques, histoire des mathématiques, didactique.

Parmi les grands problèmes hérités de l’Antiquité grecque, la duplication du cube occupe une place singulière. Derrière une consigne apparemment simple — doubler un volume — se cache une difficulté mathématique profonde. Ce problème a traversé les siècles, suscitant de nombreuses tentatives de résolution, et a contribué de manière décisive à l’évolution de la géométrie puis à l’émergence de résultats fondamentaux en algèbre.

1. Origine et récit du « problème délien »

La duplication du cube est traditionnellement associée à un récit légendaire situé sur l’île de Délos. Afin de faire cesser une épidémie, un oracle aurait exigé que l’on double le volume d’un autel cubique dédié au dieu Apollon. La solution naïve — doubler la longueur de l’arête — conduit en réalité à une erreur manifeste, révélant le caractère non linéaire de la relation entre longueur et volume.

Si l’arête d’un cube passe de \(a\) à \(2a\), son volume passe de \(a^3\) à \((2a)^3 = 8a^3\). Doubler une dimension linéaire multiplie donc le volume par huit, et non par deux.

2. Formulation mathématique du problème

Soit un cube de côté \(a\), de volume \(V = a^3\). Le problème consiste à déterminer la longueur \(b\) de l’arête d’un second cube dont le volume serait exactement le double, c’est-à-dire \(2V = 2a^3\).

\[ b^3 = 2a^3 \quad \Longrightarrow \quad b = a\sqrt[3]{2}. \]

Le problème géométrique se reformule alors ainsi : construire le segment \(a\sqrt[3]{2}\) à partir du segment \(a\), en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas.

3. Constructibilité et impossibilité à la règle et au compas

La théorie de la constructibilité établit un lien profond entre les constructions géométriques à la règle et au compas et les extensions algébriques obtenues par une succession d’extractions de racines carrées. Dans ce cadre, seuls certains nombres réels peuvent être construits.

Or le nombre \(\sqrt[3]{2}\) ne peut être obtenu par une telle suite d’opérations. En 1837, Pierre Wantzel démontre rigoureusement que la duplication du cube fait partie des problèmes impossibles à résoudre avec les seuls instruments euclidiens. Il n’existe donc pas de construction exacte du segment \(a\sqrt[3]{2}\) à la règle et au compas.

4. Solutions historiques hors du cadre euclidien

Bien avant la démonstration d’impossibilité, les mathématiciens de l’Antiquité avaient déjà exploré des solutions en élargissant les outils autorisés. Une approche classique consiste à rechercher deux moyennes proportionnelles \(x\) et \(y\) entre \(a\) et \(2a\) :

\[ \frac{a}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2a}. \]

Cette réduction, attribuée à Hippocrate de Chios , transforme le problème initial en une question de proportions. Ménéchme aurait ensuite résolu ce système à l’aide de l’intersection de coniques (paraboles et hyperboles), illustrant le rôle fondamental de ces courbes dans le développement de la géométrie grecque.

5. Enjeux et pistes didactiques

La duplication du cube constitue un objet didactique d’une grande richesse. Elle permet d’articuler plusieurs notions essentielles : la croissance cubique, le passage du raisonnement géométrique à l’écriture algébrique, la notion de preuve d’impossibilité, ainsi que l’apport de l’histoire des mathématiques dans la construction des savoirs.

  • Collège / lycée : étudier l’effet d’un facteur \(k\) sur le volume (\(k^3\)).
  • Lycée : introduire \(\sqrt[3]{2}\) comme solution de l’équation \(x^3 = 2\).
  • Post-bac : relier la constructibilité à la théorie des corps.
  • Histoire des mathématiques : comparer tentatives de construction et preuve d’impossibilité.

Le problème de la duplication du cube illustre de manière exemplaire la tension entre une question concrète et les limites d’un cadre technique donné. Son impossibilité à la règle et au compas, démontrée au XIXe siècle, met en évidence que la notion de « possible » en mathématiques dépend étroitement des instruments et des axiomes admis.

Pour aller plus loin et découvrir les autres problèmes classiques de l’Antiquité, le lecteur pourra consulter le site constructions.sensmath.com , entièrement consacré aux quatre problèmes grecs.