Cantor : l’infini est plus grand que l’infini
À la fin du XIXe siècle, Georg Cantor bouleverse les fondements des mathématiques en introduisant une manière rigoureuse de comparer la « taille » des ensembles : la cardinalité. Il montre que tous les infinis ne sont pas équivalents : certains ensembles infinis sont strictement plus grands que d’autres. En particulier, l’ensemble des nombres réels est non dénombrable, ce qui fonde une hiérarchie des infinis.
Pendant des siècles, l’infini est resté un concept philosophique plus que mathématique. Hérité d’Aristote, il est souvent considéré comme une notion abstraite, difficilement manipulable et source de paradoxes. À la fin du XIXe siècle, Georg Cantor ose une idée audacieuse : traiter l’infini comme un objet mathématique à part entière et en comparer rigoureusement les tailles, grâce aux fonctions et aux correspondances.
L’intuition trompeuse de l’infini
Dans l’expérience quotidienne, l’infini semble unique et indépassable. Dire qu’un ensemble est infini revient intuitivement à dire qu’il est « sans fin », et il paraît alors absurde de vouloir comparer deux infinis. Cette intuition conduit à penser que tous les ensembles infinis sont équivalents.
Avant Cantor, l’infini est souvent perçu comme un processus plutôt que comme un objet, ce qui empêche toute comparaison quantitative rigoureuse.
Comparer des ensembles infinis
Cantor introduit une idée simple mais puissante : deux ensembles ont la même taille s’il est possible d’établir une correspondance bijective entre leurs éléments. Cette définition permet pour la première fois de comparer rigoureusement des ensembles infinis.
Deux ensembles \(A\) et \(B\) ont la même cardinalité s’il existe une bijection \(f : A \to B\). Autrement dit, \(f\) est à la fois injective (pas de doublons) et surjective (aucun élément oublié).
L’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) et l’ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) peuvent être mis en correspondance terme à terme. Ils sont donc infinis, mais de même taille, bien que \(\mathbb{Z}\) semble intuitivement « plus grand ».
Dans un ensemble infini, « ajouter des éléments » ne suffit pas à prouver qu’on a obtenu un ensemble plus grand : tout dépend de l’existence (ou non) d’une bijection.
L’infini dénombrable
Grâce à cette approche, Cantor montre que de nombreux ensembles infinis, comme les entiers, les entiers relatifs ou les nombres rationnels, sont dénombrables. Cela signifie que leurs éléments peuvent être énumérés un par un, même si le processus est infini.
Un ensemble \(A\) est dit dénombrable s’il existe une bijection \(\mathbb{N} \leftrightarrow A\). On note alors \(|A| = |\mathbb{N}| = \aleph_0\).
Cette découverte est déjà contre-intuitive : les nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) semblent bien plus nombreux que les entiers, et pourtant ils partagent le même type d’infini.
Une idée classique pour \(\mathbb{Q}\) consiste à organiser les fractions \(\frac{p}{q}\) (avec \(p,q\in\mathbb{Z}\), \(q\neq 0\)) en tableau, puis à le parcourir « en diagonale », en évitant les doublons. On obtient une énumération : \(\mathbb{Q}\) est dénombrable.
L’infini non dénombrable
La véritable révolution survient lorsque Cantor démontre que l’ensemble des nombres réels ne peut pas être dénombré. Son célèbre argument diagonal prouve qu’aucune liste, même infinie, ne peut contenir tous les nombres réels.
L’ensemble \(\mathbb{R}\) (et même l’intervalle \([0,1]\)) n’est pas dénombrable. En particulier, \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|\).
Supposons qu’on puisse lister tous les réels de \([0,1]\) :
\[ x_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}\dots,\quad x_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}\dots,\quad \dots \]
Construisons un réel \(y = 0.b_1 b_2 b_3 \dots\) tel que \(b_n \neq a_{nn}\) pour tout \(n\). Alors \(y\) diffère de \(x_n\) à la \(n\)-ième décimale, donc \(y\) n’est dans aucune ligne de la liste. Contradiction : la liste ne pouvait pas contenir tous les réels.
Quelle que soit la manière dont on tente d’énumérer les nombres réels, il est toujours possible d’en construire un nouveau qui diffère de tous ceux de la liste, montrant ainsi que cet ensemble est strictement plus grand.
Pour la première fois, un infini est démontré comme étant strictement plus grand qu’un autre.
Une rupture philosophique et mathématique
L’idée que certains infinis soient plus grands que d’autres choque profondément les mathématiciens et les philosophes de l’époque. Certains, comme Kronecker, rejettent violemment les travaux de Cantor, qu’ils jugent trop abstraits ou métaphysiques.
Cette opposition contribue à l’isolement intellectuel de Cantor, mais n’empêche pas ses idées de s’imposer progressivement comme un fondement essentiel des mathématiques modernes.
L’héritage de Cantor
La théorie cantorienne de l’infini influence profondément la logique, l’analyse, la topologie et la philosophie des mathématiques. Les notions de cardinalité infinie et de hiérarchie des infinis sont aujourd’hui omniprésentes, notamment dans l’étude des fondements mathématiques.
Pour tout ensemble \(A\), on a \(|A| < |\mathcal{P}(A)|\), où \(\mathcal{P}(A)\) désigne l’ensemble des parties de \(A\). Autrement dit, il n’existe pas d’infini maximal.
On note \(\aleph_0 = |\mathbb{N}|\). La cardinalité de \(\mathbb{R}\) s’écrit souvent \(2^{\aleph_0}\) (cardinal du continu).
L’affirmation selon laquelle « l’infini est plus grand que l’infini » résume ainsi l’une des révolutions intellectuelles majeures du XIXe siècle.
- La taille d’un ensemble se compare par des bijections.
- Il existe des infinis dénombrables (\(\aleph_0\)) et non dénombrables.
- \([0,1]\) (donc \(\mathbb{R}\)) est strictement plus grand que \(\mathbb{N}\) (argument diagonal).
- Pour tout ensemble \(A\), \(|A| < |\mathcal{P}(A)|\) : pas d’infini maximal.
Avec Cantor, l’infini cesse d’être une notion vague ou purement philosophique pour devenir un objet mathématique rigoureusement étudié. En montrant que certains infinis sont plus grands que d’autres, il ouvre une nouvelle ère des mathématiques, où même l’illimité peut être comparé, classé et compris.
- Georg Cantor — Wikipédia
- Dauben, J. W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite
- Dedekind, R., Was sind und was sollen die Zahlen?