Histoire et construction algébrique des nombres complexes

Nés d’un paradoxe algébrique à la Renaissance, les nombres complexes ont longtemps été considérés comme « impossibles ». Cet article retrace leur évolution historique et montre comment ils deviennent, au XIXᵉ siècle, un corps rigoureusement construit, fondement des mathématiques modernes.

Lire l'article

Histoire et construction algébrique des nombres complexes

Les nombres complexes n’ont pas été introduits comme une abstraction théorique, mais comme une réponse progressive à des difficultés algébriques bien réelles. Leur histoire s’étend sur plusieurs siècles et illustre un phénomène fréquent en mathématiques : des objets d’abord rejetés comme absurdes deviennent, après clarification conceptuelle, des structures fondamentales. Dans cet article, on retrace cette évolution historique avant de présenter la construction moderne rigoureuse de \( \mathbb{C} \) comme un corps, en précisant le rôle de l’unité imaginaire \( i \) et l’inclusion des réels via un homomorphisme de corps injectif.

1. Renaissance : la naissance d’objets « impossibles »

Au XVIᵉ siècle, les mathématiciens européens cherchent des méthodes générales pour résoudre les équations polynomiales, en particulier les équations de degré trois. Dans son ouvrage majeur Ars Magna (1545), Gerolamo Cardano expose des formules de résolution qui font apparaître, au cours des calculs, des expressions contenant des racines carrées de nombres négatifs.

Ces expressions sont profondément problématiques : aucun nombre réel ne peut vérifier une égalité du type \( x^2=-1 \), puisque le carré d’un réel est toujours positif ou nul. Pourtant, ces quantités surgissent même lorsque la solution finale de l’équation est bien réelle. Le calcul semble donc « passer par l’impossible » pour atteindre le possible.

C’est Rafael Bombelli qui, vers 1572, accepte explicitement de manipuler ces objets comme des symboles algébriques, en leur attribuant des règles de calcul cohérentes. Il ne prétend pas leur donner une existence mathématique véritable : il cherche avant tout à rendre les calculs opératoires.

Historiquement, les nombres complexes naissent donc comme des outils formels, utilisés par nécessité, sans définition ni fondement théorique.

2. XVIIᵉ–XVIIIᵉ siècles : stabilisation des règles et apparition de \( i \)

Au cours des XVIIᵉ et XVIIIᵉ siècles, l’usage de ces quantités se généralise dans les calculs algébriques. Une notation s’impose progressivement avec l’introduction de l’unité imaginaire \( i \), pensée comme une « racine carrée de \(-1\) », et caractérisée par la relation suivante :

$$ i^2 = -1 $$

Cette écriture est largement diffusée par Leonhard Euler, qui montre que l’on peut manipuler les expressions \( a+ib \), avec \( a,b\in\mathbb{R} \), de manière cohérente et efficace. Toutefois, cette relation reste essentiellement opératoire : elle indique ce que \( i \) doit vérifier, sans dire ce qu’est réellement \( i \) d’un point de vue mathématique.

3. XIXᵉ siècle : changement de perspective et rigueur algébrique

Le véritable tournant conceptuel intervient au XIXᵉ siècle. Plutôt que de chercher une interprétation mystérieuse de \( \sqrt{-1} \), les mathématiciens adoptent une approche structurelle : ils construisent un ensemble muni de lois algébriques dans lequel un élément vérifiant \( i^2=-1 \) existe naturellement. Cette démarche est notamment clarifiée par Carl Friedrich Gauss, qui contribue à donner aux nombres complexes un statut mathématique pleinement légitime.

4. Définition moderne : construction de \( \mathbb{C} \)

On définit l’ensemble des nombres complexes par : \( \mathbb{C}=\mathbb{R}^2 \) muni des lois \( + \) et \( \times \) définies par
$$ (a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d) $$
$$ (a,b)\times(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc). $$

Avec ces deux opérations, \( \mathbb{C} \) est un corps commutatif. L’élément neutre pour l’addition est \( (0,0) \), et l’élément neutre pour la multiplication est \( (1,0) \). Cette construction donne un cadre algébrique précis à ce qui n’était auparavant qu’un formalisme de calcul.

5. Inclusion de \( \mathbb{R} \) et homomorphisme de corps injectif

On définit l’application \( \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \) par \( \varphi(a)=(a,0) \). Cette application est un homomorphisme de corps injectif.

Le fait que \( \varphi \) soit un homomorphisme de corps signifie qu’elle respecte les opérations algébriques : pour tous \( a,b\in\mathbb{R} \), on a \( \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) \), \( \varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b) \), et \( \varphi(1)=(1,0) \). Son injectivité permet d’identifier \( \mathbb{R} \) au sous-ensemble \( \{(a,0)\mid a\in\mathbb{R}\} \subset \mathbb{C} \), ce qui autorise l’écriture usuelle \( a=(a,0) \), en particulier \( -1=(-1,0) \).

6. Définition rigoureuse de l’unité imaginaire

On définit dans \( \mathbb{C} \) l’élément \( i=(0,1) \).

En utilisant la loi de multiplication définie sur \( \mathbb{R}^2 \), on obtient
$$ i^2=(0,1)\times(0,1)=(-1,0). $$
Par l’identification des réels dans \( \mathbb{C} \), on a \( (-1,0)=-1 \), d’où la relation fondamentale \( i^2=-1 \), désormais comprise comme une conséquence interne de la structure algébrique de \( \mathbb{C} \).

Les nombres complexes illustrent un cheminement historique classique : apparus comme des objets « impossibles » au XVIᵉ siècle, stabilisés par le calcul au XVIIIᵉ, ils deviennent au XIXᵉ siècle les éléments d’un corps rigoureusement construit. La définition \( \mathbb{C}=\mathbb{R}^2 \) muni de lois, l’inclusion \( \varphi \) comme homomorphisme de corps injectif, et la définition \( i=(0,1) \) montrent que la relation \( i^2=-1 \) n’est pas un postulat mystérieux, mais une conséquence mathématique parfaitement maîtrisée.