Mots-clés : Fermat, théorie des nombres, géométrie analytique, probabilités, dernier théorème de Fermat, petit théorème de Fermat.
Pierre de Fermat (vers 1607 – 12 janvier 1665) est l’un des mathématiciens les plus remarquables du XVIIe siècle. Magistrat au parlement de Toulouse, il consacre son temps libre à l’étude des mathématiques et développe des idées qui influenceront profondément la théorie des nombres, la géométrie analytique et la théorie des probabilités.
Bien qu’il ait très peu publié de son vivant, ses travaux ont circulé dans sa correspondance avec d’autres savants. Fermat est surtout célèbre pour avoir formulé le dernier théorème de Fermat, un problème resté non résolu pendant plus de trois siècles.
Biographie
Pierre de Fermat naît à Beaumont-de-Lomagne, dans le sud-ouest de la France. Après des études de droit à l’université d’Orléans, il devient magistrat au parlement de Toulouse.
Bien qu’il ne soit pas mathématicien de profession, Fermat entretient une correspondance scientifique avec plusieurs savants, notamment Blaise Pascal, René Descartes et Marin Mersenne. Ces échanges jouent un rôle important dans la diffusion des idées mathématiques au XVIIe siècle.
Fermat et la théorie des nombres
Fermat s’intéresse particulièrement aux propriétés des nombres entiers. Ses recherches marquent la naissance de la théorie moderne des nombres.
Parmi ses résultats figure le petit théorème de Fermat. Si \(p\) est un nombre premier et si \(a\) n’est pas divisible par \(p\), alors :
\[
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}
\]
Ce résultat joue aujourd’hui un rôle important en théorie des nombres et en cryptographie.
Contribution à la géométrie analytique
Indépendamment de René Descartes, Fermat développe une méthode permettant d’étudier les courbes à l’aide d’équations algébriques. Cette approche constitue l’un des fondements de la géométrie analytique.
Grâce à cette idée, une courbe peut être représentée par une équation, par exemple :
\[
y = x^2
\]
Cette relation entre algèbre et géométrie constitue une avancée majeure dans l’histoire des mathématiques.
Fermat et la naissance des probabilités
Les échanges entre Fermat et Blaise Pascal à propos des jeux de hasard ont contribué à la naissance de la théorie des probabilités.
Ils étudient notamment le problème du partage des gains dans un jeu interrompu, connu sous le nom de problème des partis. Cette réflexion marque l’un des premiers développements du raisonnement probabiliste.
Le dernier théorème de Fermat
Énoncé
Fermat affirme que l’équation suivante :
\[
x^n + y^n = z^n
\]
n’admet aucune solution en nombres entiers strictement positifs lorsque \(n > 2\).
Dans la marge de son exemplaire de l’Arithmetica de Diophante, Fermat écrit qu’il possède une démonstration de ce résultat, mais que la marge du livre est trop étroite pour la contenir.
Pourquoi le cas \(n = 2\) fonctionne
Lorsque \(n = 2\), l’équation devient :
\[
x^2 + y^2 = z^2
\]
Cette relation correspond aux triplets pythagoriciens, comme :
\[
3^2 + 4^2 = 5^2
\]
Le théorème de Fermat affirme que ce phénomène n’existe plus pour les puissances supérieures à 2.
La résolution moderne
Le problème posé par Fermat reste ouvert pendant plus de trois siècles. En 1994, le mathématicien britannique Andrew Wiles parvient à démontrer le théorème.
Sa démonstration repose sur des outils très avancés de la théorie des nombres, notamment les courbes elliptiques et les formes modulaires.
Portrait
Pierre de Fermat (vers 1607 – 1665), mathématicien français.
Repères chronologiques
- vers 1607 : naissance de Pierre de Fermat ;
- années 1630-1650 : correspondances et principaux travaux mathématiques ;
- 1637 : note célèbre dans la marge de l’Arithmetica ;
- 12 janvier 1665 : décès de Fermat ;
- 1994 : démonstration du dernier théorème par Andrew Wiles.
Importance historique
Les idées de Fermat ont profondément influencé l’évolution des mathématiques. Ses recherches ont contribué à la naissance de plusieurs domaines majeurs : théorie des nombres, géométrie analytique et probabilités.
Le dernier théorème de Fermat est devenu l’un des problèmes les plus célèbres de l’histoire des mathématiques, à la fois par la simplicité de son énoncé et par l’extrême difficulté de sa démonstration.
À retenir
- Pierre de Fermat était magistrat et mathématicien amateur.
- Il est l’un des fondateurs de la théorie moderne des nombres.
- Il a contribué à la géométrie analytique et aux probabilités.
- Son dernier théorème a été démontré en 1994 par Andrew Wiles.